د.مختار الطاهر الزوبي2026-08-042026-08-04https://dspace.academy.edu.ly/handle/123456789/2478أولي ولهذا هي دائرية , ولنفرض الآن أن k≥2 والمبرهنة برهنت لكل الزمر ذات قوة للعدد p وأصغر من p^k ولديها على الاكثر زمرة جزئية واحدة من كل رتبة . لأن G زمرة غير تافهة رتبة قوة للعدد p , فإن لديها مركز غير تافه , وبإستخدام مبرهنة كوشي لنأخذ عنصر a من الرتبة p في G , عندئذ فإن 〈a〉 زمرة جزئية من G رتبتها p , ومثل هذه الزمرة الجزئية وحيدة , لأن كل زمرة جزئية غير تافهة من G تحتوي زمرة جزئية برتبة p , كل زمرة جزئية غير تافهة من G تحتوى 〈a〉 , لأن a تقع في مركز G , 〈a〉 زمرة جزئية ناظمية من G , لهذا بإمكاننا أن نأخذ الزمرة G⁄〈a〉 والتي رتبتها p^(k-1) , دعنا نوضح أن G⁄〈a〉 لديها على الأكثر زمرة جزئية من أي رتبة H. لأي زمرة جزئية H من G⁄〈a〉 , لتكن H^` الصورة العكسية للزمرة الجزئية H في G , فإن H^` تحتوي 〈a〉 و (H=H^`)⁄〈a〉 , وإذا كانت K زمرة جزئية من G⁄〈a〉 بنفس رتبة H فإن |K^` |=|H^` | , ( قد عرفنا K^` من K بنفس الطريقة التي عرفنا بها H^` من H ) لهذا فإن =K^` H^`, لأن G من المفترض أن تحتوي زمرة جزئية واحدة على الأكثر من أي رتبة وبالعودة إلى 〈a〉 فإننا نحصل على H=H^`⁄〈a〉 =K^`⁄〈a〉 =Kفي G⁄〈a〉 بالاستنتاج الرياضي , G⁄〈a〉 زمرة دائرية G⁄〈a〉 =〈b ̅ 〉 , عندئذ كل عنصر في G على الصيغة b^i a^j لبعض j ,i و b≠e لأن G⁄〈a〉 غير تافهة , لأن 〈b〉 زمرة جزئية غير تافهة من G , ويجب أن تحتوي 〈a〉 لهذا a∈〈b〉 لهذا b^i a^j هي قوة لـــــــ b , هذا يؤدي إلى أن G دائرية . إذا كانت كل زمرة جزئية سيلوفية دائرية , فإن الزمرة ليس من الضروري أن تكون دائرية مبرهنة 3.1.3 لتكن G زمرة منتهية بحيث أن لكل n يقسم |G| والمعادلة x^n=1 في G لها على الأكثر عدد n من الحلول , فإن G دائرية . البرهان : سوف يتكون البرهان من خطوتين الخطوة الأولى : لتكن p عدد أولي يقسم رتبة G , p^k أكبر قوة للعدد p في |G| . كل g∈G برتبة قوة للعدد p في G لديه رتبة تقسم p^k ( كل الرتب تقسم |G| ) ولذلك g هي حل للمعادلة x^(p^K )=1 . لتكن P زمرة جزئية ــــــ p سيلوفية من G وهذا يعطينا P^K حلول للمعادلة , لهذا بالافتراض هذه هي كل الحلول . لهذا كل العناصر ذات رتبة قوة للعدد p كلها في P , لهذا P هي الزمرة الجزئية ــــــ p السيلوفية الوحيدةدراسة مبرهنات سيلوف و تطبيقاتها ، نظراً لأهمية هذا الموضوع المرتبط بمبرهنة لاجرانج و التي تتعلق بالزمر المنتهية ، و قد تناول الفصل الأول مقدمة في نظرية الزمر و تناول الفصل الثاني مبرهنات سيلوف و براهينها و تناول الفصل الثالث بعض تطبيقات مبرهنات سيلوف في نظرية الزمر . This thesis is intended to study Syllow's theorems and their applications , due to the importance of this topic concerning Lagrange's theorem which is related to finite groups. Chapter one includes an introduction to group theory , Chapter two includes statement of Syllow's theorems and their proofs , and Chapter three includes some applications of Syllow's theorems in group theoryسيلوف وتطبيقاتها